Fra et punkt utgår to linjer med kjent lengde. Vinkelen mellom linjene er fritt valg fra 0° til 180°. Hva blir arealet mellom linjene?
(Du kan fritt bruke passer, snor, kalkulator, målebånd, tommestokk, teodolitt...)
L1 og L2 er kjente. Med en snor fra enden av L1 tegner du en bue (sorry, den er ikke riktig i krummingen, men poenget burde komme fram) som krysser L2 to steder. Normalen fra enden av L1 på L2 treffer L2 midt mellom de to stedene buen krysser. Lengen av normalen måles til N.
Arealet av det stiplede rektangelet er L2*N. N deler dette i to delrektangler, begge delt i to like halvdeler av en diagonal linje, og arealet av tomta er summen av halve rektangelet med L1 som diagonal og det med ??? (den tredje grenselinja) som normal.
Du kan naturligvis måle opp hvor på L2 normalen treffer og deler den i L2A og L2B, for å beregne del-trekantene som L2A*N/2 og L2B*N/2. Det er unødvendig, siden L2A*N/2+L2B*N/2 = (L2A+L2B)*N/2 = L2*N/2.
Du behøver verken vite vinkelen mellom L1 og L2 eller lengden på den tredje grenselinja.
Hadde N skåret gjennom et hus, kunne du trukket en normal fra enden av L2 ned på L1. Hvis lengdene var som her, ville normalen ligge svært nær opp til den tredje grenselinja, og risikoen for der å treffe et hus ville være minimal. Med andre lengder på L1 og L2 er du kanskje ikke like heldig
Hvis vinkelen er større enn 90° vil normalen treffe utenfor L2 (i en forlengelse av L2), men det blir likevel riktig bare du tegner rektangelet med kun L2 som den ene sidekanten, ikke forlengelsen. Tegn det opp for å se at det stemmer! Det blir litt mer komplisert da - du får et omsluttende rektangel på størrelse N * (L2+X), der X er forlengelsen av L2. Fra deette arealet må du trekke fra to trekanter: Den som ligger under L1 har areal X*N/2, trekanten over L3 (den ukjente) har aral (L2+X)*N/2. Så tomtearealet er
Jada, jeg kan å trekke normalen på en linje, men hvor kommer arealet fra? Ikke gitt i oppgaven. Du kjenner lengden av to sider i en trekant. Hva er lengden av den tredje sidekanten?
Det jeg viste var hvordan du finner arealet, ikke lengden av den tredje sidekanten. Du trenger den ikke for å beregne arealet. Vil du ha den verdien, må du måle lengden X fra der normalen treffer til enden av L2, og da har du L3 (dvs. "???") som kvadratroten av X2 + L22.
"Hvor kommer arealet fra?" Jeg kan jo sitere meg selv: "Arealet av det stiplede rektangelet er L2*N ... arealet av tomta er summen av halve rektangelet med L1 som diagonal og det med ??? (den tredje grenselinja) som normal", og til avslutning: "Så tomtearealet er ... L2*N/2".
Som jeg skrev innledningsvis: Dette alternativet har et "hvis": "Hvis tomta er rimelig flat og du ikke hindres av noe bygg". Er hele tomta flat, kan du bare strekke en snor mellom endepunktene til L1 og L2, og måle lengden av den. Det kan hende at det ikke er lett, hvis f.eks. L3 krysser et kronglete kratt eller en skarp bergknaus, mens L1 og L2 er på flatt land. Men det vil ikke gi deg aralet av tomta.
Keal: sitat TSs første post: «Jeg trenger å finne lengden på en av sidene. Intet areal er kjent, intet areal er omsøkt, kun beregning av en sidekant er etterspurt. Du kjenner to sider. Oppgaven er udefinert.
Spørsmålet var retorisk ment. Det skulle forstås som: Hvordan kan du regne ut arealet i en trekant når kun, ene og alene, lengden av to sider er kjent. Beklager at jeg var uklar.
Så du sier: Hva er arealet mellom to vilkårlige linjer, ett eller annet sted i universet, med en eller annen lengde, uten at de er lokalisert noe sted i et koordinatsystem? Kun to lengdeverdier, to skalare verdier.
Du har helt rett: Under de betingelsene er det ikke mulig å bestemme arealet mellom dem. Å bestemme arealet mellom to skalare lengder er umulig. Var det en slik situasjon du beskrev som "Fra et punkt utgår to linjer med kjent lengde. Vinkelen mellom linjene er fritt valg fra 0° til 180°. Hva blir arealet mellom linjene?"?
Jeg misforstod det til at du ville ha arealet mellom de to vektorene. Jeg skjønte ikke at du ville ha arealet mellom to skalare lengder, ikke linjer plassert i rommet, verken med retning eller posisjon. Jeg beklager. Jeg tolket ditt "fra et punkt" som at de var plassert i rommet. Det er jo også TS sin realitet.
Jeg medgir at jeg sitter med en kilen følelse av at du prøver å løpe unna "Å f... Var det SÅ enkelt?". For å bevare ansikt vil du redefinere spørsmålet så det blir vanskeligere. Greit nok: Det er null problem for meg å gi deg rett i at å bestemme arealet mellom to skalare linjelengder, uavhengig av plassering i et koordinatsystem, er umulig. Er innverdi begrenset til to skalare lengder har du helt rett: Arealet mellom to skalare lengder kan ikke beregnes. Men "Fra et punkt utgår to linjer med kjent lengde" gir essensiell tilleggs-informasjon: De plasserer linjene i et koordinatsystem. Så sant vi forutsetter et euklidsk rom gjør det spørsmålet "f... så enkelt" å besvare.
Du var uklar: Ved å si "Fra et punkt" og referere til "Vinkelen mellom linjene" kunne man ledes til å tro at dette var noe som hadde betydning. Så jeg vil ikke alene ta ansvaret for misforståelsene.
Å finne grensene fra gamle dager kan være en vanskelig jobb. Vi hadde nylig en grenseoppgang på hytta ifm en utskilling av deler av tomta. Tomten er et lappeteppe av ulike transaksjoner de siste 100 år. Grensemerker er det flust av, men trikset var å finne de som gjelder.
Det som stod i offisielle registre var i stor grad bare tull.
Nøkkelen hos oss var skjøtene (til sammen tre ulike skjøter på tre eiendommer som til sammen utgjorde tomta), samt en del slektsforskning. I skjøtene var det ofte referert til eiere av nabotomter. Men etter 60 år med kjøp og salg og arv, og masse folk med samme etternavn i området, som gjerne driver og gifter seg med hverandre, så kunne det være utfordrende. Til slutt fant vi at ett punkt i vår grense var definert som "1 meter sør for kryss i fjell", og et annet "midt mellom stammene på et epletre med to stammer". 60 år etter var det ikke mange epletrær igjen...
Jeg tegnet opp det jeg leste på flyfoto. Det hjalp. Dersom du finner historiske flyfoto, f.eks på Norgeskart eller finn.no/kart, kan det være enklere.
Anyway, før en grenseoppgang lønner det seg å ha god kontroll på fakta. Grenseoppgang er ikke "å finne ut av", men å "bli enige om". Grensemerker trumfer det meste. For vår del ble det mye graving og leting, etter å ha innsnevret utfallsrommet med detektivarbeid.
Når det gjelder murer og gjerder, er det slettes ikke sikkert de følger grensene, selv om alle tror det. Vi har et "grensegjerde" langs den ene siden av tomta, satt opp for mange herrens år siden, og vi referere til det som "grensen" - men det står egentlig 1 meter inne på vår eiendom.
Ja bardomshjemmet mitt har også en slik 1m, tror ikke dagens nabo vet at de har 1m mindre tomt. ( Det er en liten mur som gjorde det naturlig å låne bort denne meteren til nabo, og gjerde følger muren ikke grensen)
(Det skal ikke være enkelt, nei !)
L1 og L2 er kjente. Med en snor fra enden av L1 tegner du en bue (sorry, den er ikke riktig i krummingen, men poenget burde komme fram) som krysser L2 to steder. Normalen fra enden av L1 på L2 treffer L2 midt mellom de to stedene buen krysser. Lengen av normalen måles til N.
Arealet av det stiplede rektangelet er L2*N. N deler dette i to delrektangler, begge delt i to like halvdeler av en diagonal linje, og arealet av tomta er summen av halve rektangelet med L1 som diagonal og det med ??? (den tredje grenselinja) som normal.
Du kan naturligvis måle opp hvor på L2 normalen treffer og deler den i L2A og L2B, for å beregne del-trekantene som L2A*N/2 og L2B*N/2. Det er unødvendig, siden L2A*N/2+L2B*N/2 = (L2A+L2B)*N/2 = L2*N/2.
Du behøver verken vite vinkelen mellom L1 og L2 eller lengden på den tredje grenselinja.
Hadde N skåret gjennom et hus, kunne du trukket en normal fra enden av L2 ned på L1. Hvis lengdene var som her, ville normalen ligge svært nær opp til den tredje grenselinja, og risikoen for der å treffe et hus ville være minimal. Med andre lengder på L1 og L2 er du kanskje ikke like heldig
Hvis vinkelen er større enn 90° vil normalen treffe utenfor L2 (i en forlengelse av L2), men det blir likevel riktig bare du tegner rektangelet med kun L2 som den ene sidekanten, ikke forlengelsen. Tegn det opp for å se at det stemmer! Det blir litt mer komplisert da - du får et omsluttende rektangel på størrelse N * (L2+X), der X er forlengelsen av L2. Fra deette arealet må du trekke fra to trekanter: Den som ligger under L1 har areal X*N/2, trekanten over L3 (den ukjente) har aral (L2+X)*N/2. Så tomtearealet er
(L2*N + X*N) - X*N/2 - (L2*N/2 + X*N/2) =
L2*N + X*N - X*N/2 - X*N/2 - L2*N/2 =
L2*N -L2*N/2 =
L2*N/2.
"Hvor kommer arealet fra?" Jeg kan jo sitere meg selv: "Arealet av det stiplede rektangelet er L2*N ... arealet av tomta er summen av halve rektangelet med L1 som diagonal og det med ??? (den tredje grenselinja) som normal", og til avslutning: "Så tomtearealet er ... L2*N/2".
Som jeg skrev innledningsvis: Dette alternativet har et "hvis": "Hvis tomta er rimelig flat og du ikke hindres av noe bygg". Er hele tomta flat, kan du bare strekke en snor mellom endepunktene til L1 og L2, og måle lengden av den. Det kan hende at det ikke er lett, hvis f.eks. L3 krysser et kronglete kratt eller en skarp bergknaus, mens L1 og L2 er på flatt land. Men det vil ikke gi deg aralet av tomta.
Intet areal er kjent, intet areal er omsøkt, kun beregning av en sidekant er etterspurt. Du kjenner to sider. Oppgaven er udefinert.
Du har helt rett: Under de betingelsene er det ikke mulig å bestemme arealet mellom dem. Å bestemme arealet mellom to skalare lengder er umulig. Var det en slik situasjon du beskrev som "Fra et punkt utgår to linjer med kjent lengde. Vinkelen mellom linjene er fritt valg fra 0° til 180°. Hva blir arealet mellom linjene?"?
Jeg misforstod det til at du ville ha arealet mellom de to vektorene. Jeg skjønte ikke at du ville ha arealet mellom to skalare lengder, ikke linjer plassert i rommet, verken med retning eller posisjon. Jeg beklager. Jeg tolket ditt "fra et punkt" som at de var plassert i rommet. Det er jo også TS sin realitet.
Jeg medgir at jeg sitter med en kilen følelse av at du prøver å løpe unna "Å f... Var det SÅ enkelt?". For å bevare ansikt vil du redefinere spørsmålet så det blir vanskeligere. Greit nok: Det er null problem for meg å gi deg rett i at å bestemme arealet mellom to skalare linjelengder, uavhengig av plassering i et koordinatsystem, er umulig. Er innverdi begrenset til to skalare lengder har du helt rett: Arealet mellom to skalare lengder kan ikke beregnes. Men "Fra et punkt utgår to linjer med kjent lengde" gir essensiell tilleggs-informasjon: De plasserer linjene i et koordinatsystem. Så sant vi forutsetter et euklidsk rom gjør det spørsmålet "f... så enkelt" å besvare.
Du var uklar: Ved å si "Fra et punkt" og referere til "Vinkelen mellom linjene" kunne man ledes til å tro at dette var noe som hadde betydning. Så jeg vil ikke alene ta ansvaret for misforståelsene.
Det som stod i offisielle registre var i stor grad bare tull.
Nøkkelen hos oss var skjøtene (til sammen tre ulike skjøter på tre eiendommer som til sammen utgjorde tomta), samt en del slektsforskning. I skjøtene var det ofte referert til eiere av nabotomter. Men etter 60 år med kjøp og salg og arv, og masse folk med samme etternavn i området, som gjerne driver og gifter seg med hverandre, så kunne det være utfordrende. Til slutt fant vi at ett punkt i vår grense var definert som "1 meter sør for kryss i fjell", og et annet "midt mellom stammene på et epletre med to stammer". 60 år etter var det ikke mange epletrær igjen...
Jeg tegnet opp det jeg leste på flyfoto. Det hjalp. Dersom du finner historiske flyfoto, f.eks på Norgeskart eller finn.no/kart, kan det være enklere.
Anyway, før en grenseoppgang lønner det seg å ha god kontroll på fakta. Grenseoppgang er ikke "å finne ut av", men å "bli enige om". Grensemerker trumfer det meste. For vår del ble det mye graving og leting, etter å ha innsnevret utfallsrommet med detektivarbeid.
Når det gjelder murer og gjerder, er det slettes ikke sikkert de følger grensene, selv om alle tror det. Vi har et "grensegjerde" langs den ene siden av tomta, satt opp for mange herrens år siden, og vi referere til det som "grensen" - men det står egentlig 1 meter inne på vår eiendom.